Ratsionaalne funktsioon on võrrand, mis on kujul y = N (x)/D (x), kus N ja D on polünoomid. Üks käsitsi täpse graafiku visandamine võib olla põhjalik ülevaade paljudest keskkooli matemaatika kõige olulisematest teemadest alates algebrast kuni diferentsiaalarvutuseni. Vaatleme järgmist näidet: y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2).
Sammud
Samm 1. Leidke y lõikus
Lihtsalt määrake x = 0. Kõik, välja arvatud konstantsed terminid, kaob, jättes y = 5/2. Väljendades seda koordinaatpaarina, (0, 5/2) on graafiku punkt. Joonista see punkt.
Samm 2. Leidke horisontaalne asümptoot
Jagage nimetaja pikalt lugejaks, et määrata y käitumine suurte absoluutväärtuste x korral. Selles näites näitab jagamine, et y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4). Suurte positiivsete või negatiivsete väärtuste x korral läheneb 17/(8 x + 4) nullile ja graafik lähendab joont y = (1/2) x - (7/4). Graafige see joon, kasutades kriipsjoont või kergelt tõmmatud joont.
- Kui lugeja aste on nimetaja astmest väiksem, pole jaotust vaja teha ja asümptoot on y = 0.
- Kui deg (N) = deg (D), on asümptoot juhtkoefitsientide suhtega horisontaalne joon.
- Kui deg (N) = deg (D) + 1, on asümptoot sirge, mille kalle on juhtkoefitsientide suhe.
- Kui deg (N)> deg (D) + 1, siis suurte väärtuste puhul | x |, y läheb kiiresti positiivse või negatiivse lõpmatuseni ruut-, kuup- või kõrgema astme polünoomina. Sellisel juhul ei tasu ilmselt jaotuse jagatist täpselt graafikusse panna.
Samm 3. Leidke nullid
Ratsionaalsel funktsioonil on null, kui selle lugeja on null, seega määrake N (x) = 0. Näites 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Selle ruutmeetri diskrimineerija on b 2 - 4 ac = 62 - 4*2*5 = 36-40 = -4. Kuna diskrimineerija on negatiivne, pole N (x) ja järelikult ka f (x) tegelikke juuri. Graafik ei ületa kunagi x -telge. Kui leiti nulle, lisage need punktid graafikule.
Samm 4. Leidke vertikaalsed asümptoodid
Vertikaalne asümptoot tekib siis, kui nimetaja on null. Seadistus 4 x + 2 = 0 annab vertikaalse joone x = -1/2. Joonista iga vertikaalne asümptoot kerge või katkendliku joonega. Kui mõni x väärtus teeb nii N (x) = 0 kui ka D (x) = 0, võib seal olla või mitte olla vertikaalne asümptoot. See on haruldane, kuid vaadake näpunäiteid selle kohta, kuidas sellega toime tulla, kui see juhtub.
Samm 5. Vaadake 2. jao ülejäänud osa
Millal on see positiivne, negatiivne või null? Näites on ülejäänud lugeja 17, mis on alati positiivne. Nimetaja 4 x + 2 on vertikaalsest asümptootist paremal positiivne ja vasakul negatiivne. See tähendab, et graafik läheneb ülaltoodud lineaarsele asümptootile suurte positiivsete x -väärtuste puhul ja altpoolt suurte negatiivsete x -väärtuste korral. Kuna 17/(8 x + 4) ei saa kunagi olla null, ei lõiku see graaf kunagi sirget y = (1/2) x - (7/4). Ärge lisage graafikule praegu midagi, kuid pange need järeldused hiljem teadmiseks.
Samm 6. Leidke kohalik äärmus
Kohalik äärmus võib tekkida alati, kui N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. Näites on N '(x) = 4 x - 6 ja D' (x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. Terminite laiendamine, kombineerimine ja jagamine 4 lehega x 2 + x - 4 = 0. Ruutvalem näitab juured x = 3/2 ja x = -5/2 lähedal. (Need erinevad täpsetest väärtustest umbes 0,06 võrra, kuid meie graafik ei ole piisavalt täpne, et sellise detailsuse pärast muretseda. Korraliku ratsionaalse lähenduse valimine muudab järgmise sammu lihtsamaks.)
Samm 7. Leidke iga kohaliku ekstreemumi y -väärtused
Ühendage eelmise sammu x -väärtused tagasi algse ratsionaalse funktsiooni juurde, et leida vastavad y -väärtused. Näites on f (3/2) = 1/16 ja f (-5/2) = -65/16. Lisage need punktid (3/2, 1/16) ja (-5/2, -65/16) graafikule. Kuna me eelmises etapis ligikaudselt tegime, ei ole need täpsed miinimumid ja maksimumid, kuid on tõenäoliselt lähedal. (Me teame, et (3/2, 1/16) on kohalikule miinimumile väga lähedal. Alates 3. sammust teame, et y on alati positiivne, kui x> -1/2 ja leidsime väärtuse kuni 1/16, nii et vähemalt sel juhul on viga tõenäoliselt väiksem kui joone paksus.)
Samm 8. Ühendage punktid ja pikendage graafikut sujuvalt teadaolevatest punktidest asümptootideni, hoolitsedes nende õige lähenemise eest
Olge ettevaatlik, et te ei ristuks x -teljega, välja arvatud punktides, mis on juba leitud punktis 3. Ärge ületage horisontaalset või lineaarset asümptooti, välja arvatud punktis 5. juba leitud punktides. eelmises etapis leitud äärmus.
Video - selle teenuse kasutamisel võidakse YouTube'iga jagada teatud teavet
Näpunäiteid
- Mõned neist toimingutest võivad hõlmata kõrge polünoomi lahendamist. Kui te ei leia täpseid lahendusi faktoriseerimise, valemite või muude vahendite abil, siis hinnake lahendusi numbritehnikate, näiteks Newtoni meetodi abil.
- Kui järgite samme järjekorras, ei ole tavaliselt vaja kasutada teise tuletise teste või sarnaseid potentsiaalselt keerukaid meetodeid, et teha kindlaks, kas kriitilised väärtused on kohalikud maksimumid, kohalikud miinimumid või mitte. Proovige kõigepealt kasutada eelmiste sammude teavet ja natuke loogikat.
- Kui proovite seda teha ainult eelkalkulatsioonimeetoditega, saate kohaliku äärmuse leidmise samme asendada, arvutades iga asümptootide paari vahel mitu täiendavat (x, y) järjestatud paari. Teise võimalusena, kui teid ei huvita, miks see töötab, pole mingit põhjust, miks eelkalkulatsiooni õpilane ei saa võtta polünoomi tuletist ja lahendada N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0.
-
Harvadel juhtudel võib lugejal ja nimetajal olla ühine mittekonstantne tegur. Kui järgite samme, kuvatakse see samas kohas nullina ja vertikaalse asümptootina. See on võimatu ja see, mis tegelikult juhtub, on üks järgmistest.
- N (x) nullil on suurem paljunemisvõime kui nullil (D). F (x) graafik läheneb selles punktis nullile, kuid on seal määratlemata. Märkige see punkti ümber avatud ringiga.
- Null N (x) ja null D (x) on võrdne paljusus. Graaf läheneb selle x väärtuse jaoks mõnele nullist erinevale punktile, kuid on seal määratlemata. Jällegi märkige see avatud ringiga.
- N (x) null on väiksema paljundusvõimega kui null punktis D (x). Siin on vertikaalne asümptoot.
