Ruutvõrrandi graafik: 10 sammu (piltidega)

2024 Autor: Robert Blare | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2024-02-02 02:06

Graafikuna vormi ruutvõrrandid kirves² + bx + c või a (x - h)² + k andke sile U-kujuline või vastupidine U-kujuline kõver, mida nimetatakse parabooliks. Ruutvõrrandi joonistamine seisneb selle tipu, suuna ning sageli ka x ja y lõikepunktide leidmises. Suhteliselt lihtsate ruutvõrrandite korral võib piisata ka x -väärtuste vahemiku ühendamisest ja saadud punktide põhjal kõvera joonestamisest. Alustamiseks vaadake allpool 1. toimingut.

Sammud

Samm 1. Määrake, milline ruutvõrrandite vorm teil on

Ruutvõrrandit saab kirjutada kolmes erinevas vormis: standardvorm, tipuvorm ja ruutvorm. Ruutvõrrandi joonistamiseks võite kasutada kumbagi vormi; graafiku koostamise protsess on veidi erinev. Kui tegelete kodutöö probleemiga, saate selle probleemi tavaliselt ühel neist kahest vormist - teisisõnu ei saa te valida, seega on kõige parem mõista mõlemat. Kaks ruutvõrrandi vormi on:

• Standardvorm.

  Sellisel kujul kirjutatakse ruutvõrrand järgmiselt: f (x) = ax² + bx + c kus a, b ja c on reaalarvud ja a ei võrdu nulliga.

  Näiteks kaks standardvormi ruutvõrrandit on f (x) = x² + 2x + 1 ja f (x) = 9x² + 10x -8.

• Tipu vorm.

  Sellisel kujul kirjutatakse ruutvõrrand järgmiselt: f (x) = a (x - h)² + k kus a, h ja k on reaalarvud ja a ei võrdu nulliga. Tipuvorm on nii nime saanud, sest h ja k annavad teile otse parabooli tipu (keskpunkti) punktis (h, k).

  Kaks tipuvormi võrrandit on f (x) = 9 (x - 4)² + 18 ja -3 (x - 5)² + 1

• Mõlema seda tüüpi võrrandi graafikuks koostamiseks peame esmalt leidma parabooli tipu, mis on kõvera "tipus" asuv keskpunkt (h, k). Tipuvormi koordinaadid standardkujul on antud: h = -b/2a ja k = f (h), tippude kujul aga h ja k on võrrandis täpsustatud.

Samm 2. Määratlege oma muutujad

Ruutülesande lahendamiseks tuleb tavaliselt määratleda muutujad a, b ja c (või a, h ja k). Keskmine algebraülesanne annab teile ruutvõrrandi muutujatega, tavaliselt standardkujul, kuid mõnikord tippude kujul.

• Näiteks standardvormi võrrandi f (x) = 2x korral² + 16x + 39, meil on a = 2, b = 16 ja c = 39.
• Tipuvormi võrrandi f (x) = 4 (x - 5) korral² + 12, meil on a = 4, h = 5 ja k = 12.

Samm 3. Arvutage h

Tipuvormi võrrandites on teie h väärtus juba antud, kuid standardvormivormides tuleb see arvutada. Pidage meeles, et standardvormide korral h = -b/2a.

• Meie standardvormi näites (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Lahendades leiame, et h = - 4.
• Meie tipuvormi näites (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), me teame h = 5 ilma matemaatikat tegemata.

Samm 4. Arvutage k

Nagu h puhul, on k juba tuntud tippude vormivõrrandites. Standardvormide puhul pidage meeles, et k = f (h). Teisisõnu, võite leida k, asendades võrrandi iga x -i eksemplari väärtusega, mille just h jaoks leidsite.

• Oleme oma standardvormi näites kindlaks teinud, et h = -4. K leidmiseks lahendame oma võrrandi väärtusega h asendades x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32–64 + 39 =

    Samm 7.

• Meie tipuvormi näites teame jällegi k väärtust (mis on 12), ilma et oleks vaja matemaatikat teha.

Samm 5. Joonestage oma tipp

Teie parabooli tipp on punkt (h, k) - h määrab x -koordinaadi, k aga y -koordinaadi. Tipp on teie parabooli keskpunkt - kas tähe "U" põhi või tagurpidi "U." ülaosa. Tipu tundmine on täpse parabooli joonistamise oluline osa - sageli on koolitöös tipu täpsustamine küsimuse kohustuslik osa.

• Meie standardvormi näites on meie tipp (-4, 7). Niisiis, meie parabool saavutab 4 tühikut 0 -st vasakul ja 7 tühikut ülalpool (0, 0). Peaksime selle punkti graafikule joonistama, märkides kindlasti koordinaadid.
• Meie tipuvormi näites on meie tipp punktis (5, 12). Peaksime joonistama punkti 5 tühikut paremale ja 12 tühikut ülalpool (0, 0).

Samm 6. Joonista parabooli telg (valikuline)

Parabooli sümmeetriatelg on selle keskosa läbiv joon, mis jagab selle ideaalselt pooleks. Üle selle telje peegeldab parabooli vasak külg paremat külge. Vormi kirve kvadraatikutele² + bx + c või a (x - h)² + k, telg on y-teljega paralleelne sirge (teisisõnu täiesti vertikaalne) ja läbib tippu.

Meie standardvormi näite puhul on telg joon, mis on paralleelne y-teljega ja läbib punkti (-4, 7). Kuigi see pole osa paraboolist, aitab selle joone kerge märgistamine oma graafikul lõpuks aidata teil näha, kuidas parabool kõverdab sümmeetriliselt

Samm 7. Leidke avamise suund

Pärast parabooli tipu ja telje välja selgitamist peame järgmiseks teadma, kas parabool avaneb üles või alla. Õnneks on see lihtne. Kui "a" on positiivne, avaneb parabool ülespoole, kui "a" on negatiivne, avaneb parabool allapoole (st see pööratakse tagurpidi).

• Meie standardvormi näites (f (x) = 2x² + 16x + 39), me teame, et parabool avaneb ülespoole, sest meie võrrandis on a = 2 (positiivne).
• Meie tipuvormi näite puhul (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), me teame, et meil on ka parabool, mis avaneb ülespoole, sest a = 4 (positiivne).

Samm 8. Vajadusel otsige üles ja joonistage x lõiked

Sageli palutakse teil koolitöödel leida parabooli x-lõiked (mis on kas üks või kaks punkti, kus parabool kohtub x-teljega). Isegi kui te neid ei leia, võivad need kaks punkti olla täpse parabooli joonistamisel hindamatud. Kõigil paraboolidel pole aga x-lõikepunkte. Kui teie paraboolil on tipp, mis avaneb ülespoole ja mille tipp on x -telje kohal või kui see avaneb allapoole ja sellel on tipp x -telje all, sellel ei ole ühtegi x pealtkuulamist. Vastasel juhul lahendage oma x pealtkuulamised ühega järgmistest meetoditest.

• Lihtsalt määrake f (x) = 0 ja lahendage võrrand. See meetod võib töötada lihtsate ruutvõrrandite puhul, eriti tippude kujul, kuid keerukamate puhul osutub see äärmiselt keeruliseks. Vaadake allpool näidet

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 ja 13 on parabooli x-lõikepunktid.

• Faktorige oma võrrand. Mõned võrrandid kirves² + bx + c vormi saab hõlpsasti arvesse võtta vormis (dx + e) (fx + g), kus dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx ja e × g = c. Sel juhul on teie x -lõiked x -i väärtused, mis muudavad sulgudes kummagi termini = 0. Näiteks:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Sel juhul on teie ainus x lõikepunkt -1, sest kui seadistate x võrdseks -1, on kumbki sulgudes olev tegur võrdne 0 -ga.

• Kasutage ruutmeetrilist valemit. Kui te ei suuda oma x -lõikepunkte hõlpsalt lahendada või võrrandit korrigeerida, kasutage spetsiaalset võrrandit, mida nimetatakse selleks otstarbeks loodud ruutvalemiks. Kui see pole veel nii, sisestage võrrand vormi kirvesse² + bx + c, seejärel ühendage a, b ja c valemiga x = (-b +/- SqRt (b² - 4ac))/2a. Pange tähele, et see annab x -i jaoks sageli kaks vastust, mis on OK - see tähendab lihtsalt, et teie paraboolil on kaks x -lõike. Vaadake allpool näidet:

  • -5x² + 1x + 10 ühendatakse ruutmeetrilise valemiga järgmiselt:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14,18)/-10
  • x = (13,18/-10) ja (-15,18/-10). Parabooli x lõikepunktid on ligikaudu x = - 1.318 ja 1.518
  • Meie eelmine standardvormi näide, 2x² + 16x + 39 ühendatakse ruutmeetrilise valemiga järgmiselt:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256-312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56)/-10
  • Kuna negatiivse arvu ruutjuure leidmine on võimatu, teame seda x vahele ei võta selle parabooli jaoks on olemas.

Etapp 9. Vajadusel leidke ja joonistage y lõikepunkt

Kuigi sageli pole vaja leida võrrandi y lõikepunkti (punkt, kus parabool läbib y -telge), võidakse teid lõpuks nõuda, eriti kui olete koolis. See protsess on üsna lihtne - määrake lihtsalt x = 0, seejärel lahendage võrrand f (x) või y jaoks, mis annab teile y väärtuse, mille juures teie parabool läbib y telge. Erinevalt x pealtkuulamistest saab standardsetel paraboolidel olla ainult üks y lõikepunkt. Märkus - standardvormide korral on y lõikepunkt y = c.

• Näiteks me teame oma ruutvõrrandit 2x² + 16x + 39 lõikab y y 39 juures, kuid selle võib leida ka järgmiselt:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Parabooli y lõikepunkt on kell y = 39.

    Nagu eespool märgitud, on y lõikepunkt y = c.

• Meie tipp moodustab võrrandi 4 (x - 5)² + 12 -l on y lõikamine, mille leiate järgmiselt:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Parabooli y lõikepunkt on kell y = 112.

Samm 10. Vajadusel joonistage lisapunktid ja seejärel graafik

Teil peaks nüüd olema võrrandi tipp, suund, x lõikepunkt (id) ja võib -olla y lõikur. Siinkohal võite proovida oma parabooli joonistada, kasutades selleks juhiseid, mis teil on, või võite leida rohkem punkte oma parabooli "täitmiseks", et joonistatud kõver oleks täpsem. Lihtsaim viis seda teha on lihtsalt ühendada paar x väärtust mõlemal pool oma tippu ja seejärel joonistada need punktid, kasutades saadud y väärtusi. Sageli nõuavad õpetajad teilt enne parabooli joonistamist teatud arvu punkte.

• Vaatame uuesti võrrandit x² + 2x + 1. Me juba teame, et selle ainus x lõikepunkt on x = -1. Kuna see puudutab x lõikepunkti ainult ühes punktis, võime järeldada, et selle tipp on selle x lõikepunkt, mis tähendab, et selle tipp on (-1, 0). Meil on selle parabooli jaoks tegelikult ainult üks punkt - sellest ei piisa peaaegu hea parabooli joonistamiseks. Leiame veel mõned, et tagada täpse graafiku joonistamine.

  • Leiame järgmiste x väärtuste y väärtused: 0, 1, -2 ja -3.
  • 0 puhul: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Meie mõte on (0, 1).

  • 1 korral: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Meie mõte on (1, 4).

  • -2 puhul: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Meie mõte on (-2, 1).

  • -3 puhul: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Meie mõte on (-3, 4).

  • Joonistage need punktid graafikule ja joonistage oma U-kujuline kõver. Pange tähele, et parabool on täiesti sümmeetriline - kui teie punktid parabooli ühel küljel asuvad täisarvudel, saate tavaliselt endale mõne töö salvestada, lihtsalt peegeldades antud punkti üle parabooli sümmeetriatelje, et leida vastav punkt teisel pool paraboolist.

Video - selle teenuse kasutamisel võidakse YouTube'iga jagada teatud teavet

Näpunäiteid

• Pange tähele, et f (x) = telg² + bx + c, kui b või c võrduvad nulliga, need arvud kaovad. Näiteks 12x² + 0x + 6 muutub 12x² + 6, sest 0x on 0.
• Ümardage numbrid või kasutage murde, nagu teie algebraõpetaja ütleb. See aitab teil ruutvõrrandeid õigesti joonistada.