Apolloni tihend on teatud tüüpi fraktaalkujutis, mis moodustub pidevalt kahanevate ringide kogumist, mis asuvad ühes suures ringis. Iga ring Apolloni tihendis puudutab külgnevaid ringe - teisisõnu, Apolloni tihendi ringid puutuvad kokku lõpmatult väikestes punktides. Seda tüüpi fraktaale, mis on nimetatud kreeka matemaatiku Apolloniuse Perga järgi, saab joonistada (käsitsi või arvutiga) mõistliku keerukusega, moodustades ilusa ja silmatorkava pildi. Alustamiseks vaadake allpool 1. toimingut.
Sammud
Osa 1 /2: mõistke peamisi mõisteid
Et olla täiesti selge, kui olete lihtsalt huvitatud Apolloni tihendi joonistamisest, ei ole hädavajalik uurida fraktaali taga olevaid matemaatika põhimõtteid. Kui soovite aga Apolloni tihenditest sügavamat arusaamist, on oluline mõista mitme mõiste definitsioone, mida me nende arutamisel kasutame.
Samm 1. Määratlege peamised mõisted
Allpool toodud juhistes kasutatakse järgmisi termineid:
- Apolloni tihend: üks paljudest fraktaali tüüpide nimedest, mis koosnevad ringide seeriast, mis on paigutatud ühe suure ringi sisse ja puutuvad kokku kõigi teiste läheduses asuvate ringidega. Neid nimetatakse ka "Soddy ringideks" või "suudlusringideks".
- Ringi raadius: kaugus ringi keskpunktist selle servani. Tavaliselt määratakse muutuja r.
- Ringjoone kõverus: raadiuse positiivne või negatiivne pöördvõrdeline väärtus või ± 1/r. Kumerus on positiivne, kui käsitletakse ringi välist kumerust, ja negatiivne sisemise kumeruse korral.
- Puutuja: mõiste, mida rakendatakse joontele, tasanditele ja kujunditele, mis lõikuvad ühes lõpmatult väikeses punktis. Apolloni tihendites viitab see asjaolule, et iga ring puudutab iga lähedal asuvat ringi ainult ühes punktis. Pange tähele, et ristmikku pole - puutuja kujundid ei kattu.
Samm 2. Mõista Descartes'i teoreemi
Descartes'i teoreem on valem, mis on kasulik ringide suuruste arvutamiseks Apolloni tihendis. Kui määratleme mis tahes kolme ringi kumerused (1/r) vastavalt a, b ja c, siis teoreem väidab, et ringi (või ringide) kumerus, mis puutub kokku kõigi kolmega, mille määratleme kui d, on: d = a + b + c ± 2 (ruut (a × b + b × c + c × a)).
Meie eesmärkidel kasutame üldiselt ainult saadud vastust, pannes ruutjuure ette plussmärgi (teisisõnu… + 2 (ruutmeetrit (…))). Praegu piisab teadmisest, et lahutamine võrrandivormi saab kasutada ka muudes seotud ülesannetes
2. osa 2: Apolloni tihendi konstrueerimine
Apolloni tihendid on kahanevate ringide ilusate fraktaalsete paigutuste kujul. Matemaatiliselt on Apolloni tihendid lõpmatu keerukusega, kuid olenemata sellest, kas kasutate arvuti joonistusprogrammi või traditsioonilisi joonistustööriistu, jõuate lõpuks punkti, kus väiksemaid ringe pole võimalik joonistada. Pange tähele, et mida täpsemalt oma ringid joonistate, seda rohkem mahute oma tihendisse.
Samm 1. Koguge kokku digitaalsed või analoogjoonistustööriistad
Alltoodud sammudes valmistame oma lihtsa Apolloni tihendi. Apolloni tihendeid on võimalik joonistada käsitsi või arvutis. Mõlemal juhul soovite, et saaksite joonistada ideaalselt ümmargused ringid. See on üsna oluline. Kuna iga ring Apolloni tihendis on selle kõrval olevatele ringidele täiesti puutuja, võivad ringid, mis on isegi veidi moonutatud, teie lõpptoote "maha visata".
- Kui joonistate tihendi arvutisse, vajate programmi, mis võimaldab hõlpsalt keskpunktist kindla raadiusega ringe joonistada. Kasutada saab tasuta pilditöötlusprogrammi GIMP vektorjoonise laiendit Gfig, samuti mitmesuguseid muid joonistusprogramme (asjakohaste linkide saamiseks vaadake materjalide jaotist). Tõenäoliselt vajate ka kalkulaatori rakendust ja kas tekstitöötlusdokumenti või füüsilist märkmikku, et teha märkmeid kõveruste ja raadiuste kohta.
- Tihendi käsitsi joonistamiseks vajate kalkulaatorit (soovitatud teaduslikku või graafilist joonist), pliiatsit, kompassi, joonlauda (eelistatavalt millimeetrise märgistusega skaalat, graafikapaberit ja märkmete tegemiseks märkmikku.
Samm 2. Alustage ühe suure ringiga
Teie esimene ülesanne on lihtne - joonistage lihtsalt üks suur, ümmargune ring. Mida suurem on ring, seda keerulisem võib teie tihend olla, nii et proovige teha ring nii suureks kui paber võimaldab või nii suur, kui saate joonistusprogrammi ühes aknas hõlpsasti näha.
Samm 3. Looge originaali sisse väiksem ring, puudutades ühte külge
Seejärel joonistage esimese sisse teine ring, mis on originaalist väiksem, kuid siiski üsna suur. Teise ringi täpne suurus on teie otsustada - õiget suurust pole. Kuid joonistame oma otstarbel oma teise ringi nii, et see ulatuks täpselt poolele meie suurele välisringile. Teisisõnu, joonistame oma teise ringi nii, et selle keskpunkt on suure ringi raadiuse keskpunkt.
Pidage meeles, et Apolloni tihendites on kõik puudutavad ringid üksteist puudutavad. Kui kasutate oma ringide käsitsi joonistamiseks kompassi, looge see efekt uuesti, asetades kompassi terava otsa suure välisringi raadiuse keskpunkti, reguleerides oma pliiatsit nii, et see puudutaks lihtsalt suure ringi serva, siis joonista oma väiksem sisering
Samm 4. Joonista identne ring väiksemale siseringile "risti"
Järgmisena joonistame meie esimesest risti teise ringi. See ring peaks puudutama nii suurt välimist ringi kui ka väiksemat siseringi, mis tähendab, et teie kaks siseringi puutuvad kokku suure välimise ringi keskpunktis.
Samm 5. Järgmiste ringide suuruse leidmiseks rakendage Descartes'i teoreemi
Lõpetame hetkeks joonistamise. Nüüd, kui meie tihendis on kolm ringi, saame Descartesi teoreemi abil leida järgmise joonistatud ringi raadiuse. Pidage meeles, et Descartes'i teoreem on d = a + b + c ± 2 (ruut (a × b + b × c + c × a)), kus a, b ja c on teie kolme puutujaringi kumerused ja d on kõigi kolme puutujaringi kumerus. Niisiis, meie järgmise ringi raadiuse leidmiseks otsigem üles iga meie seni ringjoone kõverus, et saaksime leida järgmise ringi kumeruse, seejärel teisendage see selle raadiusesse.
-
Määratleme oma välisringi raadiuse kui
Samm 1.. Kuna teised ringid on selle sees, tegeleme selle sisemise kumerusega (mitte välise kumerusega) ja järelikult teame, et selle kumerus on negatiivne. -1/r = -1/1 = -1. Suure ringi kumerus on - 1.
-
Väiksemate ringide raadiused on poole suuremad kui suurel ringil või teisisõnu 1/2. Kuna need ringid puudutavad üksteist ja suurt ringi oma välisservaga, tegeleme nende väliskõverusega, seega on nende kumerused positiivsed. 1/(1/2) = 2. Väiksemate ringide kumerused on mõlemad
2. samm..
-
Nüüd teame, et a = -1, b = 2 ja c = 2 meie Descartes'i teoreemi võrrandi jaoks. Lahendame d jaoks:
- d = a + b + c ± 2 (ruut (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (ruut (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (ruut (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Meie järgmise ringi kumerus on
3. samm.. Kuna 3 = 1/r, on meie järgmise ringi raadius 1/3.
Samm 6. Looge oma järgmine suhtlusringide komplekt
Järgmise kahe ringi joonistamiseks kasutage äsja leitud raadiuse väärtust. Pidage meeles, et need puutuvad ringidega, mille kumerusi kasutasite Descartes'i teoreemi a, b ja c jaoks. Teisisõnu, need puudutavad nii alg- kui ka teist ringi. Selleks, et need ringid puutuksid kokku kõigi kolme ringiga, peate need joonistama oma suure algringi ala üla- ja alaosa avatud aladele.
Pidage meeles, et nende ringide raadiused on 1/3. Mõõtke 1/3 välisringi servast tagasi ja joonistage uus ring. See peaks puudutama kõiki kolme ümbritsevat ringi
Samm 7. Suhtlusringide lisamise jätkamiseks jätkake sel viisil
Kuna need on fraktaalid, on Apolloni tihendid lõpmata keerulised. See tähendab, et saate oma südamele lisada üha väiksemaid suhtlusringe. Teil on piiratud ainult tööriistade täpsus (või kui kasutate arvutit, siis joonistusprogrammi võimalus "sisse suumida"). Iga ring, olenemata sellest, kui väike see peaks olema, puudutab kolme teist ringi. Tihendi iga järgneva ringi joonistamiseks ühendage Descartes'i teoreemiga nende kolme ringi kumerused. Seejärel kasutage oma vastust (mis on teie uue ringi raadius) uue ringi täpseks joonistamiseks.
- Pange tähele, et tihend, mille oleme joonistamiseks valinud, on sümmeetriline, nii et ühe ringi raadius on sama, mis vastav ring selle vastas. Kuid pidage meeles, et mitte iga Apolloni tihend pole sümmeetriline.
-
Toome veel ühe näite. Oletame, et pärast viimase ringide kogumi joonistamist tahame nüüd joonistada ringid, mis puudutavad meie kolmandat, teist ja suurt välimist ringi. Nende ringide kõverused on vastavalt 3, 2 ja -1. Ühendame need numbrid Descartes'i teoreemiga, seadistades a = -1, b = 2 ja c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (ruut (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (ruut (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (ruut (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (ruut (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Meil on kaks vastust! Kuid kuna me teame, et meie uus ring on väiksem kui ükski ring, mida see puutub, on ainult kumerus
6. samm. (ja seega raadiuses 1/6) kõlab loogiliselt.
- Meie teine vastus 2 viitab tegelikult hüpoteetilisele ringile meie teise ja kolmanda ringi puutujapunkti teisel poolel. See ring on puutuja mõlemale ringile ja suurele välimisele ringile, kuid see ristuks juba joonistatud ringidega, nii et võime seda eirata.
Samm 8. Väljakutseks proovige teha teise sümboli suurust muutes mittesümmeetriline Apolloni tihend
Kõik Apolloni tihendid algavad samamoodi - suure välisringiga, mis toimib fraktaali servana. Siiski pole mingit põhjust, et teie teisel ringil peab tingimata olema 1/2 raadiust esimesest - me lihtsalt otsustasime seda teha ülal, sest see on lihtne ja hõlpsasti mõistetav. Lõbutsemiseks proovige käivitada uus tihend teise suurusega teise ringiga - see toob kaasa uusi põnevaid uurimisvõimalusi.
